El rompecabezas
En el siglo XVIII, Leonard Euler, uno de los matemáticos más prolíficos y prominentes que jamás haya existido, propuso el siguiente acertijo matemático:
“Seis regimientos diferentes tienen seis oficiales, cada uno perteneciente a diferentes rangos. ¿Se pueden organizar estos 36 oficiales en una formación cuadrada de modo que cada fila y columna contenga un oficial de cada rango y uno de cada regimiento?”
El problema de los treinta y seis oficiales al estilo sudoku es un caso particular de la generalización al NxN, con N > 1, cuya solución se conoce como el Cuadrados greco-latinos. Tomemos, por ejemplo, 2 regimientos, un regimiento negro y un regimiento rojo. Cada regimiento tiene dos oficiales, digamos, un coronel y un teniente. Es fácil comprobar que el cuadrado de cajas de 2X2 no tiene disposición posible siguiendo las reglas de Euler. Eso significa que no hay Cuadrados greco-latinos para el caso 2×2. Sin embargo, agregar un tercer regimiento azul y un tercer oficial, digamos un mayor, se puede organizar perfectamente en Cuadrados greco-latinos.
Euler usó un juego de cartas para visualizar la solución. Figura 1.
Aquí los rangos de los oficiales serían reyes, reinas y ases; y su posible regimiento de diamantes, tréboles y picas. Ignora los colores.
También es fácil encontrar las soluciones para N=4 y N=5. Imagina un sudoku complicado donde los números tienen etiquetas y en realidad son seres humanos: no pueden pararse en 2 casillas del cuadrado al mismo tiempo.
Sin embargo, Euler observó que la disposición de los 36 oficiales como cuadrados greco-latinos era imposible. No fue hasta 1900 que el matemático francés Gaston Tarry demostró formalmente que el problema no tiene solución usando herramientas clásicas.
Se ha demostrado que la solución general NXN existe para números impares y múltiplos de 4.
Una solución de física cuántica: los oficiales enredados
en un trabajo reciente publicado en Physical Review Letters, Suhail Rather y colaboraciones reformularon el rompecabezas de Euler que define a los oficiales en el ámbito de la mecánica cuántica. Por ejemplo, un solo oficial cuántico podría ser coronel en el regimiento negro y teniente en el regimiento rojo al mismo tiempo. Ahora, el rango y el regimiento son etiquetas cuánticas.
Los investigadores definieron cada oficial cuántico para que estén entrelazados. Eso significa que los componentes de un solo oficial cuántico son inseparables; cada componente no puede describirse completamente sin considerar todos los demás. En otras palabras, se convierten en un único objeto cuántico. En este entorno matemático, Rather y sus colaboraciones encontraron una solución analítica para el problema de Euler de los 36 oficiales. En la Fig. 2., extraído de su preimpresión en arxiv.org, utilizan una extensión del “juego de cartas” para visualizar la solución cuántica. Tenga en cuenta que una solución clásica incluiría solo una carta por caja, mientras que la solución cuántica tiene un oficial entrelazado cuántico, donde los reyes se entrelazan con los ases, las reinas con los comodines y los 9 con los 10. No enredaron los colores en la visualización.
Aplicaciones en información cuántica
El entrelazamiento cuántico tiene muchas aplicaciones interesantes, como la computación cuántica, la teletransportación y la información cuántica, lo que permite comunicaciones a prueba de espías. Los científicos han identificado una clase de entrelazamiento llamado absolutamente entrelazado al máximo (AME). Enredados al máximo significa que están perfectamente correlacionados. No importa cuán separados estén sus componentes, permanecen enredados. Los objetos AME son necesarios en información cuántica y teletransportación; cualquier otro tipo de objeto enredado no funciona correctamente.
Más bien y sus colaboradores encontraron que su solución Quantum Graeco-Latin Squares para el problema de Euler está enredada al máximo, proporcionando pistas sobre cómo resolver un caso AME particular que ha sido difícil de definir durante décadas. Además, propusieron y probaron un teorema de la existencia de su solución.
La historia de las matemáticas tiene muchos ejemplos de resolución de problemas antiguos, creación de nuevas estructuras e incluso nuevas áreas de las matemáticas usando la física. La mecánica cuántica ha demostrado ser una herramienta poderosa.
Referencias
Más bien, SA, Burchardt, A., Bruzda, W., Rajchel-Mieldzioć, G., Lakshminarayan, A. y ŻYczkowski, K. (2022). Treinta y seis oficiales enredados de Euler: solución cuántica a un problema clásicamente imposible. Cartas de Revisión Física, 128(8). https://doi.org/10.1103/physrevlett.128.080507
Una versión revisada de su versión preliminar está disponible aquí: https://arxiv.org/abs/2104.05122
Tarry, G. (1900). El problema de los 36 oficiales. Compte Rendu de l’Association Française pour l’Avancement des Sciences. Secretaría de la Asociación. 1, 122 .
Ilustración destacada de Suhail Bastante et al..
