Las matemáticas son el lenguaje del mundo físico, y Alex Townsend ve patrones matemáticos en todas partes: en el clima, en la forma en que se mueven las ondas sonoras e incluso en las manchas o rayas que se desarrollan en los embriones del pez cebra.
«Desde que Newton escribió el cálculo, hemos estado derivando ecuaciones de cálculo llamadas ecuaciones diferenciales para modelar fenómenos físicos», dijo Townsend, profesor asociado de matemáticas en la Facultad de Artes y Ciencias.
Esta forma de derivar las leyes del cálculo funciona, dijo Townsend, si ya conoces la física del sistema. Pero, ¿qué pasa con el aprendizaje de sistemas físicos para los que la física sigue siendo desconocida?
En el nuevo y creciente campo del aprendizaje de ecuaciones diferenciales parciales (PDE), los matemáticos recopilan datos de sistemas naturales y luego utilizan redes neuronales informáticas capacitadas para tratar de derivar ecuaciones matemáticas subyacentes. En un nuevo artículo, Townsend, junto con los coautores Nicolas Boullé de la Universidad de Oxford y Christopher Earls, profesor de ingeniería civil y ambiental en la Facultad de Ingeniería, avanzan en el aprendizaje de PDE con una nueva red neuronal «racional», que revela su hallazgos de una manera que los matemáticos puedan entender: a través de las funciones de Green, un inverso derecho de una ecuación diferencial en cálculo.
Esta asociación máquina-humano es un paso hacia el día en que el aprendizaje profundo mejorará la exploración científica de fenómenos naturales como los sistemas meteorológicos, el cambio climático, la dinámica de fluidos, la genética y más. «Descubrimiento basado en datos de las funciones de Green con aprendizaje profundo comprensible por humanos» se publicó en Informes científicos, Naturaleza el 22 de marzo.
Un subconjunto del aprendizaje automático, las redes neuronales están inspiradas en el mecanismo simple del cerebro animal de las neuronas y las sinapsis: entradas y salidas, dijo Townsend. Las neuronas, llamadas «funciones de activación» en el contexto de las redes neuronales computarizadas, recopilan información de otras neuronas. Entre las neuronas hay sinapsis, llamadas pesos, que envían señales a la siguiente neurona.
«Al conectar estas funciones de activación y pesos en combinación, puede generar mapas muy complicados que toman entradas y salidas, al igual que el cerebro puede tomar una señal del ojo y convertirla en una idea», dijo Townsend. «Particularmente aquí, estamos observando un sistema, un PDE, y tratando de que calcule el patrón de función de Green que predeciría lo que estamos observando».
Los matemáticos han estado trabajando con las funciones de Green durante casi 200 años, dijo Townsend, quien es un experto en ellas. Usualmente usa la función de Green para resolver rápidamente una ecuación diferencial. Earls propuso usar las funciones de Green para comprender una ecuación diferencial en lugar de resolverla, una inversión.
Para hacer esto, los investigadores crearon una red neuronal racional personalizada, en la que las funciones de activación son más complicadas pero pueden capturar el comportamiento físico extremo de las funciones de Green. Townsend y Boullé introdujeron redes neuronales racionales en un estudio separado en 2021.
«Al igual que las neuronas en el cerebro, hay diferentes tipos de neuronas de diferentes partes del cerebro. No todas son iguales», dijo Townsend. «En una red neuronal, eso corresponde a seleccionar la función de activación: la entrada».
Las redes neuronales racionales son potencialmente más flexibles que las redes neuronales estándar porque los investigadores pueden seleccionar varias entradas.
«Una de las ideas matemáticas importantes aquí es que podemos cambiar esa función de activación a algo que realmente pueda capturar lo que esperamos de la función de Green», dijo Townsend. «La máquina aprende la función de Green para un sistema natural. No sabe lo que significa, no puede interpretarlo. Pero nosotros, como humanos, ahora podemos ver la función de Green porque hemos aprendido algo que podemos entender matemáticamente. «
Para cada sistema, hay una física diferente, dijo Townsend. Está entusiasmado con esta investigación porque pone su experiencia en las funciones de Green para trabajar en una dirección moderna con nuevas aplicaciones.
La investigación para este artículo se realizó en el Centro de Matemáticas Aplicadas de Cornell y fue apoyada por la Fundación Nacional de Ciencias (NSF) a través del premio NSF Early Career Development de Townsend. El apoyo también provino del Programa de Biomatemáticas de la Oficina de Investigación del Ejército y del Centro del Consejo de Investigación de Ingeniería y Ciencias Físicas del Reino Unido para la Formación de Doctorado en Modelado Matemático con Enfoque Industrial en colaboración con el Laboratorio de Investigación Simula.
Fuente de la historia:
Materiales proporcionado por Universidad de Cornell. Original escrito por Kate Blackwood, cortesía de Cornell Chronicle. Nota: el contenido se puede editar por estilo y longitud.
