Un profesor de la Universidad Rutgers-New Brunswick que ha dedicado su carrera a resolver los misterios de las matemáticas superiores ha resuelto dos problemas fundamentales separados que han dejado perplejos a los matemáticos durante décadas.
Las soluciones a estos problemas de larga data podrían mejorar aún más nuestra comprensión de las simetrías de estructuras y objetos en la naturaleza y la ciencia, y del comportamiento a largo plazo de diversos procesos aleatorios que surgen en campos que van desde la química y la física hasta la ingeniería, la informática y la economía.
Pham Tiep, profesor distinguido de Matemáticas Joshua Barlaz en el Departamento de Matemáticas de la Escuela de Artes y Ciencias de Rutgers, ha completado una prueba de la conjetura de la altura cero de 1955 planteada por Richard Brauer, un destacado matemático germano-estadounidense que murió en 1977. Prueba de La conjetura, comúnmente vista como uno de los desafíos más destacados en un campo de las matemáticas conocido como teoría de la representación de grupos finitos, se publicó en la edición de septiembre de la revista. Anales de Matemáticas.
«Una conjetura es una idea que uno cree que tiene cierta validez», afirmó Tiep, que ha pensado en el problema de Brauer durante la mayor parte de su carrera y ha trabajado intensamente en él durante los últimos 10 años. «Pero las conjeturas tienen que ser probadas. Tenía la esperanza de avanzar en el campo. Nunca esperé poder resolver esto».
En cierto sentido, Tiep y sus colegas han estado siguiendo un plan de desafíos que Brauer les presentó en una serie de conjeturas matemáticas planteadas y publicadas en los años 1950-60.
«Algunos matemáticos tienen este raro intelecto», dijo Tiep sobre Brauer. «Es como si vinieran de otro planeta o de otro mundo. Son capaces de ver fenómenos ocultos que otros no pueden ver».
En el segundo avance, Tiep resolvió un problema difícil en lo que se conoce como teoría de Deligne-Lusztig, parte de la maquinaria fundamental de la teoría de la representación. El avance afecta a las trazas, una característica importante de una matriz rectangular conocida como matriz. La traza de una matriz es la suma de sus elementos diagonales. El trabajo se detalla en dos artículos, uno fue publicado en Invenciones matemáticasvol. 235 (2024), el segundo en Anales, vol. 200 (2024).
«El trabajo de alta calidad y la experiencia de Tiep en grupos finitos han permitido a Rutgers mantener su estatus como uno de los principales centros mundiales en este tema», afirmó Stephen Miller, profesor distinguido y presidente del Departamento de Matemáticas. «Uno de los grandes logros en 20th Las matemáticas del siglo XIX fueron la clasificación de los llamados, aunque quizás engañosamente denominados, grupos finitos «simples», y son sinónimos de Rutgers: se inició desde aquí y muchos de los ejemplos más interesantes se descubrieron aquí. A través de su increíble y sólida labor, Tiep aporta visibilidad internacional a nuestro departamento».
Es probable que los conocimientos de la solución mejoren en gran medida la comprensión de las trazas por parte de los matemáticos, dijo Tiep. La solución también proporciona conocimientos que podrían conducir a avances en otros problemas importantes de las matemáticas, incluidas las conjeturas planteadas por el matemático de la Universidad de Florida John Thompson y el matemático israelí Alexander Lubotzky, añadió.
Ambos avances son avances en el campo de la teoría de la representación de grupos finitos, un subconjunto del álgebra. La teoría de la representación es una herramienta importante en muchas áreas de las matemáticas, incluidas la teoría de números y la geometría algebraica, así como en las ciencias físicas, incluida la física de partículas. A través de objetos matemáticos conocidos como grupos, la teoría de la representación también se ha utilizado para estudiar la simetría en moléculas, cifrar mensajes y producir códigos de corrección de errores.
Siguiendo los principios de la teoría de la representación, los matemáticos toman formas abstractas que existen en la geometría euclidiana (algunas de ellas extremadamente complejas) y las transforman en conjuntos de números. Esto se puede lograr identificando ciertos puntos que existen en cada forma tridimensional o superior y convirtiéndolos en números colocados en filas y columnas.
La operación inversa también debe funcionar, dijo Tiep: es necesario poder reconstituir la forma a partir de la secuencia de números.
A diferencia de muchos de sus colegas en ciencias físicas que a menudo emplean dispositivos complejos para avanzar en su trabajo, Tiep dijo que utiliza sólo lápiz y papel para realizar su investigación, que hasta ahora ha dado como resultado cinco libros y más de 200 artículos en las principales revistas matemáticas. .
Anota fórmulas matemáticas u oraciones que indican cadenas de lógica. También participa en conversaciones continuas, en persona o por Zoom, con colegas mientras avanzan paso a paso en una prueba.
Pero el progreso puede surgir de la reflexión interna, dijo Tiep, y las ideas surgen cuando menos lo espera.
«Tal vez estoy caminando con nuestros hijos o haciendo algo de jardinería con mi esposa o simplemente haciendo algo en la cocina», dijo. «Mi esposa dice que siempre sabe cuándo estoy pensando en matemáticas».
En la primera prueba, Tiep colaboró con Gunter Malle de Technische Universität Kaiserslautern en Alemania, Gabriel Navarro de la Universitat de València en España y Amanda Schaeffer Fry, una ex estudiante de posgrado de Tiep que ahora está en la Universidad de Denver.
Para el segundo avance, Tiep trabajó con Robert Guralnick de la Universidad del Sur de California y Michael Larsen de la Universidad de Indiana. En el primero de dos artículos que abordan problemas matemáticos sobre trazas y los resuelven, Tiep trabajó con Guralnick y Larsen. Tiep y Larsen son coautores del segundo artículo.
«Tiep y sus coautores han obtenido límites en las trazas que son tan buenos como podríamos esperar obtener», dijo Miller. «Es un tema maduro que es importante desde muchos ángulos, por lo que el progreso es difícil y las aplicaciones son muchas».
